题目

题型：不详难度：来源：

已知函数，设，
．  
（1）猜测并直接写出的表达式;此时若设，且关于的函数在区间上的最小值为，则求的值;
（2）设数列为等比数列，数列满足，，若 ，，其中,则
①当时，求；
②设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

答案

①②

解析

(I)先分别求出从而归纳出,所以.这样可得到.
然后再讨论二次函数的对称轴与-1的大小关系即可.
（2）在（1）的基础上，可得,所以数列的公比为,当m=1时，,所以,
所以,然后两式作差整理可得，问题到此基本得以解决.
解：（1）∵，
∴ ．…1分
∴．………………2分
∴．
∴．…………4分
ⅰ）当，即时，函数在区间上是减函数，
∴当时，，即，该方程没有整数解．…5分
ⅱ）当，即时，，解得，综上所述，．…6分;
（2）①由已知，所以；，所以，解得； 所以数列的公比； ．．．．7分当时，， ,即  …①  ，………②，  
②－①得，，．．．．8分
 ．．．．．9分
②     ．．．．．10分
因为，所以由得，．．．．11分
注意到，当n为奇数时，； 
当为偶数时，，
所以最大值为，最小值为．．．．．13分
对于任意的正整数n都有，
所以，解得．．．14分