题目

题型：不详难度：来源：

设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足且、、成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列满足：，，为数列的前项和,问是否存在正整数,使得成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

答案

(Ⅰ)  (Ⅱ)不存在正整数,使得成立。

解析

本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，求出a_n=2n，是解题的关键，属于中档题．
（Ⅰ）由a₁，a₂，a₄ 成等比数列得：（a₁+2）²=a₁（a₁+6），解得a₁=2，即可得到数列{a_n}的通项公式a_n的解析式．
（Ⅱ）由，可得b₁•b₂•…•b_n =4^1+2+…+n，利用等差数列的前n项和公式运算求得最后结果．
解：（I）设数列的公差为，且且成等比数列.
，即
解得……3分
∴……6分
（II）由题知：，
∴ u…………10分
若，则，即
令,知单调递增，
当时，
当时，，
故不存在正整数,使得成立。 …………14分