题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的通项公式为(),若,,()成等差数列,求和的值;
(Ⅲ)证明:存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其三边长为数列中的三项,,.
答案
(Ⅲ)作如下构造:,,,其中,它们依次为数列中第项,第项,第,显然它们成等比数列,且,所以它们能组成三角形.
由的任意性,知这样的三角形有无穷多个.
用反证法证明其中任意两个和不相似
解析
试题分析:(Ⅰ)由题意,①,当时,有②,
②-①,得,各项为正,,
从而,故成公差2的等差数列.又时,,解得.故. 4分
(Ⅱ),要使,,成等差数列,须,
即,整理得,因为,为正整数,只能取2,3,5.故,,. 10分
(Ⅲ)作如下构造:,,,其中,它们依次为数列中第项,第项,第,显然它们成等比数列,且,所以它们能组成三角形.
由的任意性,知这样的三角形有无穷多个.
下面用反证法证明其中任意两个和不相似:若∽,且,则,整理得,所以,这与矛盾,因此,任意两个三角形不相似.故原命题正确. 16分
点评:基础题,首先利用的关系,确定得到的通项公式,进一步研究中项的关系。为证明,,能构成三角形,在明确表达式的基础上,应用了反证法。
核心考点
试题【设各项均为正实数的数列的前项和为,且满足().(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列的通项公式为(),若,,()成等差数列,求和的值;(Ⅲ)证明:存在无穷多个三边】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求数列的通项公式;
值时,n的值等( )
A.12 | B.11 | C.10 | D.9 |
A. | B. | C. | D. |
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