题目
题型:不详难度:来源:
已知正项数列的前项和为,且 .
(1)求的值及数列的通项公式;
(2)求证:;
(3)是否存在非零整数,使不等式
对一切都成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
答案
(2)根据题意,由于,∴.放缩法来得到证明。
(3),由是非零整数,知存在满足条件.
解析
试题分析:(1)由.
当时,,解得或(舍去). 2分
当时,
由,
∵,∴,则,
∴是首项为2,公差为2的等差数列,故. 4分
另法:易得,猜想,再用数学归纳法证明(略).
(2)证法一:∵
, 4分
∴当时,
.… 7分
当时,不等式左边显然成立. 8分
证法二:∵,∴.
∴. 4分
∴当时,
. 7分
当时,不等式左边显然成立. ……8分
(3)由,得,
设,则不等式等价于.
,……9分
∵,∴,数列单调递增.
假设存在这样的实数,使得不等式对一切都成立,则
① 当为奇数时,得; ……11分
② 当为偶数时,得,即. 12分
综上,,由是非零整数,知存在满足条件. 12分
点评:解决的关键是利用数列的单调性来证明不等式,以及分离参数的思想来求解参数的取值范围。
核心考点
试题【已知正项数列的前项和为,且 .(1)求的值及数列的通项公式; (2)求证:;(3)是否存在非零整数,使不等式对一切都成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求a1,a3;
(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;
(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.
(1)若坐标为,,点在直线上时,求点的坐标;
(2)已知圆的方程是,过点的直线交圆于两点,
是圆上另外一点,求实数的取值范围;
(3)若、、都在抛物线上,点的横坐标为,求证:线段的垂直平分线与轴的交点为一定点,并求该定点的坐标.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若≥,,求实数的最小值;
(3)当时,给出一个新数列,其中,设这个新数列的前项和为,若可以写成 (且)的形式,则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.
(1)写出a1,a2,a3, 并推测a n的表达式;
(2)用数学归纳法证明所得的结论.
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