题目

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)＝(x＞0)，数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＝f (n∈N^*，且n≥2)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设T_n＝a₁a₂－a₂a₃＋a₃a₄－a₄a₅＋…＋(－1)^n－1·a_na_n＋1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

答案

（1）a_n＝（2）

解析

(1)因为a_n＝f＝＝a_n－1＋ (n∈N^*，且n≥2)，
所以a_n－a_n－1＝.因为a₁＝1，
所以数列{a_n}是以1为首项，公差为的等差数列．
所以a_n＝.
(2)①当n＝2m，m∈N^*时，
T_n＝T_2m＝a₁a₂－a₂a₃＋a₃a₄－a₄a₅＋…＋(－1)^2m－1a_2ma_2m＋1
＝a₂(a₁－a₃)＋a₄(a₃－a₅)＋…＋a_2m(a_2m－1－a_2m＋1)
＝－ (a₂＋a₄＋…＋a_2m)＝－××m
＝－(8m²＋12m)＝－(2n²＋6n)．
②当n＝2m－1，m∈N^*时，
T_n＝T_2m－1＝T_2m－(－1)^2m－1a_2ma_2m＋1＝－(8m²＋12m)＋(16m²＋16m＋3)
＝(8m²＋4m＋3)＝(2n²＋6n＋7)．
所以T_n＝要使T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，只要使－ (2n²＋6n)≥tn²，(n为正偶数)恒成立．
只要使－≥t，对n∈N^*恒成立，故实数t的取值范围为