题目

题型：不详难度：来源：

根据如图所示的程序框图,将输出的x,y值依次分别记为x₁,x₂,…,x_n,…,x₂₀₀₈;y₁,y₂,…,y_n,…,y₂₀₀₈.

(1)求数列{x_n}的通项公式.
(2)写出y₁,y₂,y₃,y₄,由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n,并证明你的结论.
(3)求z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n(n∈N^*,n≤2008).

答案

(1) x_n=2n-1(n∈N^*,n≤2008)
(2) y_n=3ⁿ-1(n∈N^*,n≤2008)，证明见解析
(3) z_n=(n-1)·3ⁿ⁺¹+3-n²(n∈N^*,n≤2008)

解析

(1)由框图,知数列{x_n}中,x₁=1,x_n+1=x_n+2,
∴x_n=1+2(n-1)=2n-1(n∈N^*,n≤2008).
(2)y₁=2,y₂=8,y₃=26,y₄=80.
由此,猜想y_n=3ⁿ-1(n∈N^*,n≤2008).
证明:由框图,知数列{y_n}中,y_n+1=3y_n+2,
∴y_n+1+1=3(y_n+1),∴=3,y₁+1=3,
∴数列{y_n+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,
∴y_n+1=3·3^n-1=3ⁿ,
∴y_n=3ⁿ-1(n∈N^*,n≤2008).
(3)z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n
=1×(3-1)+3×(3²-1)+…+(2n-1)(3ⁿ-1)
=1×3+3×3²+…+(2n-1)·3ⁿ-[1+3+…+(2n-1)]
记S_n=1×3+3×3²+…+(2n-1)·3ⁿ　①
则3S_n=1×3²+3×3³+…+(2n-1)·3ⁿ⁺¹　②
①-②,得-2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ-(2n-1)·3ⁿ⁺¹
=2(3+3²+…+3ⁿ)-3-(2n-1)·3ⁿ⁺¹
=2×-3-(2n-1)·3ⁿ⁺¹
=3ⁿ⁺¹-6-(2n-1)·3ⁿ⁺¹
=2(1-n)·3ⁿ⁺¹-6,
∴S_n=(n-1)·3ⁿ⁺¹+3.
又1+3+…+(2n-1)=n²,
∴z_n=(n-1)·3ⁿ⁺¹+3-n²(n∈N^*,n≤2008).