对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)= + ,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}的前15项的和为,则f(15)=　　　　. - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=

,设a_n=[f(n)]²-f(n),数列{a_n}的前15项的和为

,则f(15)=　　　　.

答案

解析

因为f(x+1)=

,
所以f(x+1)-

≥0,
即f(x+1)≥

.
两边平方得[f(x+1)-

]²=f(x)-[f(x)]²,
即[f(x+1)]²-f(x+1)+

=f(x)-[f(x)]²,
即[f(x+1)]²-f(x+1)+[f(x)]²-f(x)=-

,
即a_n+1+a_n=-

,
即数列{a_n}的任意相邻两项之和为-

,
所以S₁₅=7×(-

)+a₁₅=-

,即a₁₅=-

.
所以a₁₅=[f(15)]²-f(15)=-

,
解得f(15)=

或f(15)=

(舍去).

核心考点

试题【对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)= + ,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}的前15项的和为,则f(15)=　　　　.】；主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

设正项等差数列{a_n}的前2011项和等于2011，则

的最小值为________．

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若数列{a_n}的前n项和S_n＝n²＋3n，则a₆＋a₇＋a₈＝________．

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已知数列{a_n}的通项公式是a_n＝n²－8n＋5，这个数列的最小项是________．

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已知函数f(x)＝ax²＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n(n，S_n)(n∈N^*)均在函数y＝f(x)的图象上，求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值．

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如下表定义函数f(x)：

x	1	2	3	4	5
f(x)	5	4	3	1	2

对于数列{a_n}，a₁＝4，a_n＝f(a_n_－1)，n＝2，3，4，…，求a₂₀₀₈.

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