若an＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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若a_n＝n²＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N^*，且数列{a_n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．

答案

(－3，＋∞)

解析

解法1：(函数观点)因为{a_n}为单调递增数列，所以a_n_＋₁＞a_n，即(n＋1)²＋λ(n＋1)＋3＞n²＋λn＋3，化简为λ＞－2n－1对一切n∈N^*都成立，所以λ＞－3.
故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．
解法2：(数形结合法)因为{a_n}为单调递增数列，所以a₁＜a₂，要保证a₁＜a₂成立，二次函数f(x)＝x²＋λx＋3的对称轴x＝－

应位于1和2中点的左侧，即－

＜

，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．

核心考点

试题【若an＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．】；主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知a_n＝n×0.8ⁿ(n∈N^*)．
(1)判断数列{a_n}的单调性；
(2)是否存在最小正整数k，使得数列{a_n}中的任意一项均小于k？请说明理由．

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若数列{a_n}满足a_n_＋1＝a_n＋a_n_＋2(n∈N^*)，则称数列{a_n}为“凸数列”．
(1)设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁＝1，a₂＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；
(2)在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n_＋3＝－a_n，n∈N^*；
(3)设a₁＝a，a₂＝b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前2011项和S₂₀₁₁.

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已知数列的前n项和为S_n，并且满足a₁＝2，na_n_＋1＝S_n＋n(n＋1)．
(1)求{a_n}的通项公式；
(2)令T_n＝

S_n，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有T_n≤T_m？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

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在等差数列{a_n}中，a₁＝2，d＝3，则a₆＝________．

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在等差数列{a_n}中
(1)已知a₄＋a₁₄＝2，则S₁₇＝________；
(2)已知a₁₁＝10，则S₂₁＝________；
(3)已知S₁₁＝55，则a₆＝________；
(4)已知S₈＝100，S₁₆＝392，则S₂₄＝________．

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