题目

题型：不详难度：来源：

设数列{a_n}的前n（n∈N^*）项和为S_n，a₁=1，a₂=2，当n＞2时，S_n=

n

2

a_n+1．
（1）求a_n；（2）求数列{（S_n-34）a_n}（n∈N^*）最小的项．

答案

（1）依题意，n＞3时，
S_n=

n

2

a_n+1，S_n-1=

n-1

2

a_n-1+1，
两式相减得：
S_n-S_n-1=

n

2

a_n-

n-1

2

a_n-1…（1分），
∴a_n=

n

2

a_n-

n-1

2

a_n-1⇒an=

n-1

n-2

an-1…（2分）
所以an=

n-1

n-2

an-1=

n-1

n-2

×

n-2

n-3

a_n-2=

n-1

n-2

×

n-2

n-3

×…×

3

2

a₃=

n-1

2

a3（3分）
n=3时，S₃=

3

2

a₃+1，a₁+a₂+a₃=

3

2

a₃+1，
解得a₃=4…（4分）
所以n＞3时，a_n=2（n-1）…（5分），
而且2（3-1）=4=a₃，2（2-1）=2=a₂，2（1-1）=0≠a₁…（6分），
所以a_n=

1，n=1 2(n-1)

，n＞1…（7分）
（2）依题意，（S₁-34）a₁=-33，（S₂-34）a₂=-62
n＞2时，（Sn-34）a_n=2n³-4n²-64n+66…（8分），
作函数f（x）=2x³-4x²-64x+66，x＞2…（9分）
f′（x）=6x²-8x-64=2（3x+8）（x-4）…（10分），
解得x=4…（11分）
当2＜x＜4时，f′（x）＜0；当x＞4时，f′（x）＞0…（12分）．
所以，f（x）在x=4取得最小值f（4）=-126…（13分），
因为f（4）＜-33且f（4）＜-62，
所以，数列{（Sn-34）a_n}（n∈N₊）最小的项是（S₄-34）a₄=-126…（14分）．