题目
题型:不详难度:来源:
已知圆,点,点在圆运动,垂直平分线交于点.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设是曲线上的两个不同点,且点在第一象限,点在第三象限,若
,为坐标原点,求直线的斜率;
(Ⅲ)过点且斜率为的动直线交曲线于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.
答案
所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……………3分
设椭圆的标准方程为
则,,则椭圆的标准方程为……5分
(Ⅱ)设,则 ①
因为,则 ②
由①②解得……………8分
所以直线的斜率……………10分
(Ⅲ)直线方程为,联立直线和椭圆的方程得:
得…………11分
由题意知:点在椭圆内部,所以直线与椭圆必交与两点,
设则
假设在轴上存在定点,满足题设,则
因为以为直径的圆恒过点,
则,即: (*)
因为
则(*)变为…………12分
由假设得对于任意的,恒成立,
即解得.
因此,在轴上存在满足条件的定点,点的坐标为.………………14分
解析
核心考点
试题【((本小题满分14分)已知圆,点,点在圆运动,垂直平分线交于点.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)设是曲线上的两个不同点,且点在第一象限,点在第三象限,若,为坐标】;主要考察你对圆的方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
值为 ,
已知直线 且,求以N(1,1)为圆心,并且与相切的圆的方程.
(1)求动圆的圆心的轨迹方程;
(2)设直线(其中与(1)中所求轨迹交于不同两点,,与双曲线 交于不同两点,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
图3
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