题目

题型：上海模拟难度：来源：

已知数列{a_n满足a₁=

2

5

，且对任意n∈N*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k•a_k+1是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．

答案

（Ⅰ）∵a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，
所以数列{

1

an

}是

5

2

为首项，公差

3

2

的等差数列．                     …（4分）
可得数列{

1

an

}的通项公式

1

an

=

3n+2

2

，所an=

2

3n+2

．…（6分）
（Ⅱ）ak•ak+1=

2

3k+2

•

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．                        …（8分）
因为

3k2+7k+2

2

=k2+3k+1+

k(k+1)

2

，…（10分）
k是正整数时，

k(k+1)

2

一定是正整数，所以

3 k2+7k+2

2

是正整数．
（也可以从k的奇偶性来分析）
所以a_k•a_k+1是数{a_n}中的项，是

3k2+7k+2

2

项．                 …（12分）