题目

题型：不详难度：来源：

已知

a

=(

3

cos

x

2

，2cos

x

2

)，

b

=(2cos

x

2

，-sin

x

2

)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）设θ∈[-

π

2

，  

π

2

]，且f(θ)=

3

+1，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，f(C)=

3

+1，且△ABC的面积为

3

2

，求sinA+sinB的值．

答案

（1）根据题意化简得：f(x)=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx=2cos(x+

π

6

)+

3

（3分）
由f（θ）=2cos(θ+

π

6

)+

3

=

3

+1，得cos(θ+

π

6

)=

1

2

，（5分）
于是θ+

π

6

=2kπ±

π

3

(k∈Z)，
因为θ∈[-

π

2

， 

π

2

]，所以θ=-

π

2

或

π

6

；（7分）
（2）因为C∈（0，π），由（1）知C=

π

6

．（9分）
因为△ABC的面积为

3

2

，所以

3

2

=

1

2

absin

π

6

，于是ab=2

3

．①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6，所以a²+b²=7．②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2.

于是a+b=2+

3

，（12分）
由正弦定理得

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

1

=

1

2

，
所以sinA+sinB=

1

2

(a+b)=1+

3

2

．（14分）