题目

题型：道里区三模难度：来源：

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB-bcosA=

1

2

c，当tan（A-B）取最大值时，角C的值为______．

答案

利用正弦定理化简已知的等式得：sinAcosB-sinBcosA=

1

2

sinC=

1

2

sin（A+B）=

1

2

（sinAcosB+cosAsinB），
整理得：sinAcosB=3cosAsinB，
两边除以cosAcosB得：tanA=3tanB，
则tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

2tanB

1+3tan2B

=

2

3tanB+ 1 tanB

，
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
∴3tanB+

1

tanB

≥2

3

，当且仅当3tanB=

1

tanB

，即tanB=

3

3

时取等号，
∴tanA=3tanB=

3

，
∴A=

π

3

，B=

π

6

，
则C=

π

2

．
故答案为：

π

2