题目

题型：0103 期中题难度：来源：

已知f(x)=cos²x-4sinxcosx-3sin²x。
（1）若0≤x≤，求f(x)的最大值和最小值；
（2）求f(x)的增区间；
（3）f(x)的图象是由y=cosx的图象经过怎样的变换得到的？

答案

解：（1）利用二倍角余弦公式的变形公式，有
y=-2sin2x-3·
=2(cos2x-sin2x)-1
=2 (cos2xcos-sin2xsin)-1
=2cos(2x+)-1，
∵0≤x≤，≤2x+≤，
∴cos(2x+)在［0，）上是减函数，
故当x=0时，有最大值；当x=时，有最小值-1；
cos(2x+)在[，]上是增函数，故当x=时，有最小值-1；当x=时，有最大值；
综上所述，当x=0时，y_max=1；当x=时，y_min=-2-1。
（2）；
（3）将y=cosx的图象上的所有点向左平移个单位，然后把曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，再把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍，最后将曲线上的所有点向下平移1个单位长度，得到2
cos(2x+)-1的图象。