题目

题型：不详难度：来源：

已知

a

，

b

是两个向量，且

a

=（1，

3

cosx），

b

=（cos²x，sinx），x∈R，定义：y=

a

•

b

．
（1）求y关于x的函数解析式y=f（x）及其单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数y=f（x）的最大值、最小值及其相应的x的值．

答案

（1）∵

a

=（1，

3

cosx），

b

=（cos²x，sinx），
∴

a

•

b

=cos²x+

3

cosx•sinx=cos（2x-

π

3

）+

1

2

，
∴y=cos（2x-

π

3

）+

1

2

．
要求函数的单调递增区间，
只要使2x-

π

3

∈[2kπ，2kπ+π]
解得单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）由x∈[0，

π

2

]，得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1．
∴f（x）_min=0，
此时x=

π

2

；
f（x）_max=

3

2

，此时x=

π

6

．