题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知b²=ac，cosB=

3

4

．
（1）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（2）设

BA

• 

BC

=

3

2

，求a+c的值．

答案

（1）∵b²=ac，
∴由正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
又cosB=

3

4

，且B为三角形的内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

7

4

，又sin（A+C）=sinB，
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

；
（2）∵

BA

•

BC

=

3

2

，cosB=

3

4

，
∴ac•cosB=

3

4

ac=

3

2

，即ac=2，
∴b²=ac=2，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-2

4

=

(a+c)2-2ac-2

4

=

(a+c)2-6

4

=

3

4

，
∴（a+c）²=9，
则a+c=3．