题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

m

=（2sinx，cosx），

n

=（

3

cosx，2cosx）定义函数f（x）=log_a（

m

•

n

-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）确定函数f（x）的单调递增区间．

答案

（1）∵

m

•

n

=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1
∴

m

•

n

-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
∴f(x)=loga(

m

•

n

-1)=loga[2sin(2x+

π

6

)]
∴函数的最小正周期为T=π
（2）∵0＜a＜1时，令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

＜π+2kπ，k∈Z
∴

π

6

+kπ≤x＜

5π

12

+kπ，k∈Z
函数y=2sin(2x+

π

6

)在[kπ+

π

6

，kπ+

5π

12

）上单调递减且y＞0
∴由复合函数的单调性可知，f（x）的单增区间是[kπ+

π

6

，kπ+ 

5π

12

 )，k∈Z
∵a＞1时，2kπ＜2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

π

12

+kπ＜x≤

π

6

+kπ，k∈Z
函数y=2sin(2x+

π

6

)在[kπ-

π

12

，kπ+

π

6

]上单调递增且y＞0
∴由复合函数的单调性可知，f（x）的单增区间是(kπ-

π

12

，kπ+

π

6

)，k∈Z