题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的递增区间；（3）当x∈[-

π

3

，  

π

6

]时，求f（x）的值域．

答案

f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=

3

(2cos2x-1)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)（5分）
（1）f（x）的最小正周期T=π（7分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

   解得  kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴f（x）的递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z（10分）
（3）∵-

π

3

≤x≤

π

6

∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

2π

3

∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1
∴-

3

≤2sin(2x+

π

3

)≤2
∴f（x）的值域为[-

3

，  2]（13分）