题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

在直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B (0，2

3

)，C（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，

π

2

]．
（1）若

AB

∥

OC

，求tanθ的值；
（2）设点D（1，0），求

AC

 •  

BD

的最大值；
（3）设点E（a，0），a∈R，将

OC

 •  

CE

表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．

答案

（1）由已知，得

AB

=(2，2

3

)，

OC

=(2cosθ，sinθ)，…（2分）
因为

AB

∥

OC

，所以4

3

cosθ=2sinθ，tanθ=2

3

．…（3分）
（2）由已知，

AC

=(2cosθ+2，sinθ)，

BD

=(1，-2

3

)，

AC

 •  

BD

=2cosθ-2

3

sinθ+2=4cos(θ+

π

3

)+2…（5分）
又θ+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，…（6分）
所以，当θ=0时，

AC

 •  

BD

取得最大值，最大值为4．…（8分）
（3）由已知，

CE

=(a-2cosθ，-sinθ)，
所以，

OC

•

CE

=2acosθ-4cos2θ-sin2θ=-3cos2θ+2acosθ-1，
设t=cosθ，

OC

•

CE

=-3t2+2at-1，t∈[0，1]…（10分）
当

a

3

＜

1

2

，即a＜

3

2

时，f（a）=2a-4，
当

a

3

≥

1

2

，即a≥

3

2

时，f（a）=-1，
所以，f(a)=

2a-4，a＜ 3 2 -1 a≥ 3 2

…（12分）
因为当a＜

3

2

时，f(a)＜f(

3

2

)=-1，当a≥

3

2

时，f（a）=-1，
所以f（a）的最大值为-1．…（14分）