题目

题型：广东难度：来源：

已知向量

a

=(sinθ，-2)与

b

=(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，

π

2

)．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin(θ-φ)=

10

10

，0＜φ＜

π

2

，求cosφ的值．

答案

（1）∵

a

与

b

互相垂直，则

a

•

b

=sinθ-2cosθ=0，
即sinθ=2cosθ，代入sin²θ+cos²θ=1得sinθ=±

2 5

5

，cosθ=±

5

5

，又θ∈(0，

π

2

)，
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

（2）∵0＜ϕ＜

π

2

，0＜θ＜

π

2

，
∴-

π

2

＜θ-ϕ＜

π

2

，则cos(θ-ϕ)=

1-sin2(θ-ϕ)

=

3 10

10

，
∴cosφ=cos[θ-(θ-ϕ)]=cosθcos(θ-ϕ)+sinθsin(θ-ϕ)=

2

2