题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，|

a

-

b

|=

2 5

5

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，AH⊥BE，且sinβ=-

5

13

，求sinα．

答案

（1）∵

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，
∴

a

-

b

=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)．
∵|

a

-

b

|=

2 5

5

，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2 5

5

，即2-2cos(α-β)=

4

5

，
∴cos(α-β)=

3

5

．（7分）
（2）∵0＜α＜

π

2

， -

π

2

＜β＜0， ∴0＜α-β＜π，
∵cos(α-β)=

3

5

，∴sin(α-β)=

4

5

．
∵sinβ=-

5

13

，∴cosβ=

12

13

，
∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

4

5

•

12

13

+

3

5

•(-

5

13

)=

33

65

（14分）