题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，4sinβ）
（1）若

a

与

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|

b

+

c

|的最大值．

答案

（1）∵

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），由

a

与

b

-2

c

垂直，∴

a

•(

b

-2

c

)=

a

•

b

-2

a

•

c

=0，
即4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，∴tan（α+β）=2；
（2）∵

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，4sinβ）
则

b

+

c

=(sinβ+cosβ，4cosβ-sinβ)，
∴|

b

+

c

|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos²β-32cosβsinβ+16sin²β
=17-30sinβcosβ=17-15sin2β，最大值为32，所以|

b

+

c

|的最大值为4

2

．