题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=（sinx，1+cos2x），

b

=（sinx-cosx，cos2x+

1

2

），定义函数f（x）=

a

•（

a

-

b

）
（Ⅰ）求函数f（x）最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A为锐角，且A+B=

7π

12

，f(A)=1，BC=2，求边AC的长．

答案

（Ⅰ） f(x)=

a

•( 

a

-

b

)=cosx•sinx+

cos2x+1

2

=

1

2

(sin2x+cos2x+1)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∴T=

2π

2

=π；（6分）
（Ⅱ）由f（A）=1得

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

=1，
∴sin(2A+

π

4

)=

2

2

且2A+

π

4

∈(

π

4

，

5π

4

)，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，解得A=

π

4

，
又∵A+B=

7π

12

，∴B=

π

3

，（10分）
在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴AC=

BCsinB

sinA

=

6

．（12分）