题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=2

3

sin2x-sin(2x-

π

3

)
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ） 设α∈（0，π），f（

α

2

）=

1

2

+

3

，求sinα的值；
（Ⅲ）若x∈[-

π

2

，0]，函数f（x）的最大值．

答案

（Ⅰ）∵f(x)=

3

-

1

2

sin2x-

3

2

cos2x.=

3

-sin(2x+

π

3

)
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π
单调增区间满足：

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤π+2kπk∈Z
即单调增区间为：[kπ+

π

12

，kπ+

π

3

]k∈Z
（Ⅱ）∵f（x）=

3

-sin(2x+

π

3

)
∴f（

α

2

）=

1

2

+

3

可化为：

3

-sin(α+

π

3

)=

1

2

+

3

∴sin(α+

π

3

)=-

1

2

∵α∈（0，π）∴α+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)α+

π

3

=

7π

6

∴α=

5π

6

∴sinα=sin

5π

6

=

1

2

（Ⅲ）∵x∈[-

π

2

，0]∴2x+

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]
∴sin(2x+

π

3

)∈[-1，

3

2

]-sin(2x+

π

3

)∈[-

3

2

，1]
f（x）的最大值为

3

+1