题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

3

sin

x

2

+cos

x

2

（Ⅰ） 求f（x）的周期、对称中心、对称轴和单调递增区间；
（Ⅱ） 当x∈[0，π]时，求f（x）的值域．

答案

（I）f（x）=2（

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

）=2sin（

x

2

+

π

6

）
∴T=

2π

1 2

=4π
令

x

2

+

π

6

=kπ，得x=2kπ-

π

3

∴f（x）图象的对称中心为（2kπ-

π

3

，0）
令

x

2

+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=2kπ+

2π

3

∴f（x）的对称轴为x=2kπ+

2π

3

令2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

得4kπ-

4

3

π≤x≤4kπ+

2

3

π
∴f（x）的递增区间为[4kπ-

4

3

π，4kπ+

2

3

π]
（II）由x∈[0，π]，得

x

2

+

π

6

∈[

π

6

，

2

3

π]，
∴sin(

x

2

+

π

6

)∈[

1

2

，1]
∴函数f（x）值域为[1，2]