题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

sin2

x

2

-

3 +1

2

（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域．

答案

（1）∵f(x)=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

sin2

x

2

-

3 +1

2

=(

1

2

sinx-

3

2

cosx)-

1

2

=sin(x-

π

3

)-

1

2

，
∴函数f（x）的最小正周期为2π
由x-

π

3

=kπ+

π

2

，得x=kπ+

5π

6

，k∈z
∴函数f（x）图象的对称轴方程为x=kπ+

5π

6

，k∈z
（2）由（1）得：f(x)=sin(x-

π

3

)-

1

2

∵x∈[0，π]，所以x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
于是-

3

2

≤sin(x-

π

3

)≤1
∴函数f（x）的值域为[-

3 +1

2

，

1

2

]