题目

题型：解答题难度：困难来源：上海高考真题

已知函数y=f（x）的反函数。定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f^-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f^-1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”。
（1）判断函数g（x）=x²+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”。求y=f（x）的表达式。

答案

解：（1）函数的反函数是，
∴，
而，其反函数为，
故函数不满足“1和性质”；
（2）设函数满足“2和性质”，k≠0，
∴，
而，
由“2和性质”定义可知对x∈R恒成立，
∴k=-1，b∈R，即所求一次函数为f（x）=-x+b（b∈R）。
（3）设a＞0，x₀＞0，且点在y=f（ax）图像上，
则在函数图象上，
故，可得，
令，
∴；
综上所述，，，
其反函数就是，
而，
故y=f（ax）与互为反函数。