题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=log

1

3

x，
（1）当x∈[

1

3

，3]时，求f（x）的反函数g（x）；
（2）求关于x的函数y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；
（3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p²，q²]．
（Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=

x2-1

+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．

答案

（1）由y=log

1

3

x得x=(

1

3

)y
∴f-1(x)=(

1

3

)x(-1≤x≤1)
 （2）令t=f^-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知t∈[

1

3

，3]．
∴函数y=[f^-1（x）]²-2a[f^-1（x）]+3=t²-2at+3   (

1

3

≤t≤3)
对称轴x=a（a≤3）
①a≤

1

3

时，ymin=(

1

3

)2-

2a

3

+3=

28

9

-

2a

3

②

1

3

＜a≤3，y_min=a²-2a²+3=3-a²．
∴g(a)=

28 9 -  2a 3 (a≤ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ＜a≤3)

．
   （3）对（2）中g(a)=

28 9 - 2a 3 (a≤ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ＜a≤3)

，
易知g（x）在（-∞，3]上单减．
（3）（I）若g（x）为“和谐函数”，则g（x）在（-∞，3]上存在区间[p，q]（p＜q），使得g（x）在区间[p，q]
上的值域为[p²，q²]．
①若p＜q≤

1

3

，g（x）递减，
 

28 9 - 2p 3 = q2 28 9 - 2q 3 =p2

得p+q=

2

3

，
这与p＜q≤

1

3

矛盾．
②

1

3

≤p＜q≤3时

3-p2=q2 3-q2=p2

恒成立

此时p、q、满足

p2+q2=3 1 3 ≤p＜q≤3

，这样的p，q存在．
③p＜

1

3

，

1

3

＜q≤3时，解得p=

1

3

矛盾                     
∴（2）中g（x）是“和谐函数”，p、q满足

p2+q2=3 1 3 ≤p＜q≤3

（II）∵y=

x2-1

+t在[1，+∞）递增，有和谐函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p²，q²]