题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知f（x）=a^x+a^﹣x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）证明函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅲ）当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为，求此时a的值．
（Ⅳ）当x∈[﹣2，﹣1]时函数f （x ）的最大值为，求此时a的值．

答案

（Ⅰ）证明：∵x∈R，f（﹣x）=a^﹣x+a^x=a^x+a^﹣x=f（x）
∴函数f （ x ）是偶函数，
∴函数f （ x ）的图象关于y轴对称
（Ⅱ）证明：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）﹣f（x₂）=
当a＞1时，由0＜x₁＜x₂，则x₁+x₂＞0，则、、、
∴f（x₁）﹣f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
当0＜a＜1时，由0＜x₁＜x₂，则x₁+x₂＞0，则、、、；∴f（x₁）﹣f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
所以，对于任意a（a＞0且a≠1），f（x）在（0，+∞）上都为增函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则当x∈[1，2]时，函数f （x ）亦为增函数；
由于函数f（x）的最大值为，
则f（2）=，即，
解得，或
（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）证知f（x） 是偶函数且在（0，+∞）上为增函数，
则知f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；
则当x∈[﹣2，﹣1]时，函数f （x ）为减函数
由于函数f（x）的最大值为，则f（﹣2）=即，
解得，或