题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

2010年上海成功举办了举世瞩目的第41届世博会．有一家公司设置了这样一个奖项：对于函数f（n）=log_n+1（n+2），n∈N*，如果正整数k满足乘积f（1）f（2）f（3）•…•f（k）为整数，则称k为“世博幸运数”，每天买到当天第k张世博门票的游客可以获赠该公司的一份“幸运礼品”．那么每天第一个获得“幸运礼品”的是买到当天第______ 张世博门票的游客；在某天购得前2010张世博门票的游客中能够获得“幸运礼品”的至多有______人．

答案

a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

（n∈N⁺），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

•

log24

log23

•

log25

log24

…

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2）
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N⁺），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数为：
M=（2²-2），（2³-2），（2⁴-2），…，（2¹⁰-2）
那么每天第一个获得“幸运礼品”的是买到当天第2²-2=2张世博门票的游客；
在某天购得前2010张世博门票的游客中能够获得“幸运礼品”的至多有9人．
故答案为2；9．