题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=lg（1-x）-lg（1+x）．
（Ⅰ）求值：f(

1

2009

)+f(-

1

2009

)；
（Ⅱ）判断函数的单调性并用定义证明．

答案

（1）

1-x＞0 1+x＞0

⇒-1＜x＜1（2分）
又f（-x）=lg（1+x）-lg（1-x）=-f（x）∴f（x）为奇函数，
故f(

1

2009

)+f(-

1

2009

)=0． （6分）
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)-f(x2)=lg

1-x1

1+x1

-lg

1-x2

1+x2

=lg

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

∵（1-x₁）（1+x₂）-（1+x₁）（1-x₂）=2（x₂-x₁）＞0
又（1-x₁）（1+x₂）＞0，（1+x₁）（1-x₂）＞0
∴

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，∴lg

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0
从而f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在（-1，1）上为减函数． （12分）