题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x2-1)=loga

x2

2-x2

（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的表达式，写出其定义域，并判断奇偶性；
（2）求f^-1（x）的表达式，并指出其定义域；
（3）判断f^-1（x）单调性并证明．

答案

（1）令t=x²-1（t≥-1）
则x²=t+1
∵f(x2-1)=loga

x2

2-x2

∴f(t)=log2

t+1

2-(t+1)

=loga

1+t

1-t

∴f(x)=loga

1+x

1-x

要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：-1＜x＜1
故函数f（x）的定义域为（-1，1）
又∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-f（x）
故函数为奇函数
（2）∵f(x)=loga

1+x

1-x

（-1＜x＜1）
∴f^-1（x）=

2x-1

2x+1

由于函数解析式恒有意义
故函数f^-1（x）的定义域为R
（3）∵f^-1（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

当x增大时，2^x+1随之增大，

2

2x+1

随之减小，1-

2

2x+1

随之增大
故f^-1（x）单调递增