题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，在棱长均为4的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、D₁分别是BC和B₁C₁的中点，
(1)求证：A₁D₁∥平面AB₁D；
(2)若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∠B₁BC=60°，求三棱锥B₁-ABC的体积．

答案

(1)证明：如图，连接DD₁，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
因为D、D₁分别是BC、B₁C₁的中点，
所以B₁D₁∥BD，且B₁D₁=BD，
所以四边形B₁BDD₁为平行四边形，
所以BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁，
又因为AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，
所以AA₁∥DD₁，AA₁=DD₁，
所以四边形AA₁D₁D为平行四边形，
所以A₁D₁∥AD，
又A₁D₁平面AB₁D，AD平面AB₁D，
故A₁D₁∥平面AB₁D。
(2)解：在△ABC中，因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面B₁C₁CB，交线为BC，AD平面ABC，
所以AD⊥平面B₁C₁CB，即AD是三棱锥A-B₁BC的高，
在△ABC中，由AB=AC=BC=4得，
在△B₁BC中，B₁B=BC=4．∠B₁BC=60°，
所以△B₁BC的面积，
所以三棱锥B₁-ABC的体积，即三棱锥A-B₁BC的体积
。