题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的图象过（-1，1）点，其反函数f^-1（x）的图象过点（8，2）．
1）求a、k的值（12’）；
2）若将y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图
像，写出y=g（x）的解析式；
3）若函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），求F（x）的最小值及取最小值时的x的值．

答案

1）∵函数f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的图象过（-1，1）点，
∴1=a^k-1…①
又∵函数f（x）=a^x+k其反函数f^-1（x）的图象过点（8，2）．
故函数f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的图象过（2，8）点，
∴8=a^k+2…①
由①②得
a=2，k=1
2）由1）得f（x）=2^x+1
∴y=f^-1（x）=log₂x-1
将y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象，
∴y=g（x）=log₂（x-2）-1+1
∴g（x）=log₂（x+2），（x＞-2）；
3）∵函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），
又∵g（x）=log₂（x+2），f^-1（x）=log₂x-1
∴g（x²）=log₂（x²+2），
∴F（x）=g（x²）-f^-1（x）=log₂（x²+2）-log₂x+1
∴F(x)=log2(x+

2

x

)+1，x＞0⇒x=

2

时，F(x)min=

5

2

．