题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)若不等式|f(x)|<2的解集为{x|-
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)(文)设f(x)的反函数为f-1(x),若关于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,求m的取值范围.
(3)(理)设f(x)的反函数为f-1(x),若f-1(1)=
1 |
3 |
答案
f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)=log a
1+x |
1-x |
令t=
1+x |
1-x |
1-x+1+x |
(1-x) 2 |
2 |
(1-x) 2 |
故t在区间(-1,1)上是关于x的单调增函数,
不等式|f(x)|<2的解集为(-
1 |
2 |
1 |
2 |
①当a>1时,f(-
1 |
2 |
1 |
2 |
∴loga
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
3 |
3 |
②当0<a<1时,f(-
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
3 |
综上所述,得实数a的值为
3 |
| ||
3 |
(2)∵f(x)=log a
1+x |
1-x |
-1+ay |
1+ay |
∴f-1(x)=
-1+ax |
1+ax |
2 |
1+ax |
∵1+ax>1
∴1-
2 |
1+ax |
欲使关于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,m必须大于f-1(x)的最小值,所以m≥-1
故m的取值范围是[-1,+∞).
(3)由(2)得f-1(1)=
-1+a |
1+a |
1 |
3 |
对于关于x的不等式f-1(x)<m,由(2)知的f-1(x)的值域为(-1,1)
故分3种情形加以讨论:
①当m≥1时,有f-1(x)<1≤m,所以f-1(x)<m恒成立,得不等式的解集是R;
②当-1<m<1,f-1(x)<m⇒1-
2 |
1+2x |
1+m |
1-m |
1+m |
1-m |
∴不等式的解集是x∈(-∞,log2
1+m |
1-m |
由(2)知不等式f-1(x)<m的解集是空集.
综上所述:当m≤-1时原不等式的解集是空集,当-1<m<1时原不等式的解集是x∈(-∞,log2
1+m |
1-m |
核心考点
试题【已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)(a>0且a≠1)(1)若不等式|f(x)|<2的解集为{x|-12<x<12},求a的值;(2)(文)】;主要考察你对对数函数的性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
A.(-1,0)∪(0,+∞) | B.(-1,0) | C.(0,+∞) | D.(-1,+∞) |
1 |
3 |
lim |
n→+∞ |
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