题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.
答案
f(x)的定义域为R,设x1≠x2,则
f(
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
a(x1-x2)2 |
4 |
∴f(
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
∴f(x)不是其定义域上的凸函数…6分
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)内是凸函数,
∴f(
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
即loga
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
x1x2 |
∵x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2,
∴(
x1+x2 |
2 |
(x1-x2)2 |
4 |
x1+x2 |
2 |
x1x2 |
故要①成立,则a>1.
∴实数a的取值范围是(1,+∞)…14分
核心考点
试题【对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(x1+x22)>12[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.(1)】;主要考察你对对数函数的性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
1-x |
1+x |
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)若a,b∈(-1,1),证明:f(a)+f(b)=f(
a+b |
1+ab |
(3)证明对任意常数k∈R,f(x)=k有且仅有一解.
A.[
| B.(-∞,
| C.(3,+∞) | D.(-∞,-
|
1 |
2 |
①函数f(|x|)为偶函数;
②若|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,则ab=1;
③函数f(-x2+2x)在(1,+∞)上为单调增函数;
④若0<a<1,则|f(1+a)|<|f(1-a)|;
则正确命题的序号是______.
A.-1≤x≤2 | B.2≤x≤4 | C.
| D.
|
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