题目

题型：解答题难度：一般来源：北京期中题

已知函数f（x）=a^x，（a＞0且a≠1）的反函数是y=g（x）．
（1）求函数y=g（x）的表达式；
（2）对于函数y=g（x），当x∈[2，8]时，最大值与最小值的差是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当x∈[0，3]时，求函数y=f（x）的值域．

答案

解：（1）令y=f（x）=a^x，由有x=log_a^y
故函数的反函数的解析式是y=log_ax，（x＞0）
（2）当a＞1时．函数y=log_ax在[2，8]上是增函数，
所以最大值为log_a8，最小值为log_a2，
最大值与最小值的差是2，
∴log_a8﹣log_a2=2，解得：a=2；
当0＜a＜1时．函数y=log_ax在[2，8]上是减函数，
所以最大值为log_a2，最小值为log_a8，
最大值与最小值的差是2，∴loga2﹣loga8=2，
解得：a=；
（3）当a=2时，函数y=2x在[0，3]上是增函数，
函数y=f（x）的值域为：[1，8]；
当a=时，函数y=x在[0，3]上是增函数，
函数y=f（x）的值域为：[，1]；
综上所述，a的值2或；