题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=lg（a^x-b^x）（a，b为常数），
①当a，b＞0且a≠b时，求f（x）的定义域；
②当a＞1＞b＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．

答案

①a^x-b^x＞0⇒a^x＞b^x⇒(

a

b

)x＞1，若a＞b＞0，则

a

b

＞1，⇒x＞0为f（x）的定义域．
若0＜a＜b，则0＜

a

b

＜1⇒x＜0为f（x）定义域．
②设0＜x₁＜x₂（∵a＞b）
∵a＞1，∴ax1＜ax2；
∵0＜b＜1，∴bx1＞bx2⇒-bx1＜-bx2⇒ax1-bx1＜ax2-bx2，
即可⇒lg（ax1-bx1）＜lg（ax2-bx2），即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为增函数．