题目

题型：解答题难度：困难来源：北京模拟题

若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P。
（1）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由。
①y=a^x（a>1）； ②y=x³
（2）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n>2，n∈N*），求证：对任意i∈ {1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（3）在（2）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0，若成立给出证明，若不成立给出反例。

答案

解：（1）证明：①函数f（x）=a^x（n>1）具有性质P
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=
 
因为a>1，
即f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），此函数为具有性质P；
②函数f（x）=x³不具有性质P
例如，当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，
2f（x）=-2，
所以，f（-2）+f（0）＜f（-1），此函数不具有性质P。
（2）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，
则f（1）- f（i-1）>0，
因为函数f（x）具有性质P，所以，对于任意n∈N*，
均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥… ≥f（i）-f（i-1）>0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）>0，
与f（n）=0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0。
（3）不成立
例如
证明：当x为有理数时，x-1，x+1均为有理数，
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²-n（x-1+ x+1-2x）=2
当x为无理数时，x-1，x+1均为无理数，
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²=2，
所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
即函数f（x）具有性质P
而当x∈[0，n]（n>2）且当x为无理数时，f（x）>0
所以，在（2）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立。