题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立.
（Ⅰ）函数f(x)=" x" 是否属于集合M？说明理由；
（Ⅱ）设函数f(x)=a^x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a^x∈M；
（Ⅲ）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的值.

答案

（Ⅰ）f(x)= 
（Ⅱ）因为函数f(x)=a^x（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得a^x=x,
显然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常数T，使a^T="T."
于是对于f(x)=a^x有 
故f(x)=a^x∈M.  
（Ⅲ）实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}  

解析

（Ⅰ）把函数f(x)= x代入f(x+T)="T" f(x)不恒成立，所以 函数f(x)=" x" 不属于集合M；（Ⅱ）由函数 且的图象与函数的图象有公共点，可得，存在非零常数T，使.把函数代入f(x+T)="T" f(x)，结合，可得函数属于集合M；（Ⅲ）先讨论实数是否为0，时显然成立；时，把函数代入整理得恒成立，所以.根据三角函数的诱导公式可得实数的值.