题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，
f(x)＝－ (a∈R)．
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围．

答案

解析

解：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，
f(－x)＝－＝4^x－a·2^x，
∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝a·2^x－4^x，x∈[0,1]．
令t＝2^x，t∈[1,2]，
∴g(t)＝a·t－t²＝－(t－)²＋，
当≤1，即a≤2时，g(t)_max＝g(1)＝a－1；
当1<<2，即2<a<4时，g(t)_max＝g()＝；
当≥2，即a≥4时，g(t)_max＝g(2)＝2a－4.
综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1；
当2<a<4时，f(x)的最大值为；
当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.
(2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，
∴f′(x)＝aln2×2^x－ln4×4^x＝2^xln2·(a－2×2^x)≥0，∴a－2×2^x≥0恒成立，
∴a≥2×2^x.∵2^x∈[1,2]，∴a≥4.
故a的取值范围是[4，＋∞)．