题目

题型：解答题难度：一般来源：上海

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的

1

2

，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）．
（Ⅰ）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（Ⅱ）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（Ⅲ）设f(x)=

1

1+x2

．现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．

答案

（1）f（0）=1，表示没有用水洗时，盘子上洗洁净的量将保持原样．
（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：f(0)=1，f(1)=

1

2

在[0，+∞）上f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1．
（3）设仅清洗一次，残留在洗洁净量为f1=

1

1+a2

，清洗两次后，残留的洗洁净量为f2=[

1

1+( a 2 )2

]2=

16

(a2+4)2

，则f1-f2=

a2(a2-8)

(a2+1)(a2+4)2

于是，当a＞2

2

时，清洗两次后残留在洗洁净量较少；当a=2

2

时，两种清洗方法具有相同的效果；
当0＜a＜2

2

时，一次清洗残留的洗洁净量较少．