题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（1）写出V关于W的函数关系式；
（2）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（3）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，试用你所学的数学知识证明：当M=N时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=

原有价值-现有价值

原有价值

×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）．

答案

解（1）依题意设v=kw²，（2分）
又当w=3时，v=54000，∴k=6000（3分）
故v=6000w²（4分）
（2）设这颗钻石的重量为a克拉，
由（1）可知，按重量比为1：3切割后的价值为6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2（6分）
价值损失为6000a2-[6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2]（7分）
价值损失的百分率为

6000a2-[6000( 1 4 a)2+6000( 3 4 a)2]

6000a2

=0.375=37.5%
答：价值损失的百分率为37.5%（8分）
（3）证明：价值损失的百分率为

6000(m+n)2-(6000m2+6000n2)

6000(m+n)2

=

2mn

(m+n)2

≤

2( m+n 2 )2

(m+n)2

=

1

2

当且仅当m=n时，等号成立．
即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大．（12分）