题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知 函数f(x)=

2|x-2     x≥a 2|x-10    x＜a

，
（I）当a=1时，求f（x）最小值；
（II）求f（x）的最小值g（a）；
（III）若关于a的函数g（a）在定义域[2，10]上满足g（-2a+9）＜g（a+1），求实数a的取值范围．

答案

（I）当a=1时，f(x)=

2|x-2   x≥1 2|x-10   x＜1

当x≥1时，函数先减后增，当x＜1时，函数是一个是一个减函数，
∴最小值f（2）=1；
（II）当2^|x-2|＞2^|x-10|时，|x-2|＞|x-10|
∴6＜x＜10，即g（a）=2^|a-10|
当2^|x-2|＜2^|x-10|时，
2≤a≤6，即g（a）=2^|a-2|
当a≤2，a≥10时，g（a）=1
综上可知g（a）=2^|a-10|，6＜x＜10，
g（a）=2^|a-2|   2≤a≤6，
g（a）=1，a≤2，a≥10
（III）∵g（-2a+9）＜g（a+1），
∴2＜-2a+9＜10，①
2＜a+1＜10，②
|a-5|＜|-2a+3|③
∴-

1

2

＜a＜

7

2

1＜a＜9
（3a-8）（a+2）＞0，即a＞

8

3

或a＜-2
总上可知a∈φ