题目
题型:解答题难度:一般来源:东城区一模
(Ⅰ)当a=0时,求f′(2);
(Ⅱ)若f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(a),将a换元为x,试判断曲线y=g(x)是否能与直线3x-2y+m=0( m为确定的常数)相切,并说明理由.
答案
所以f"(2)=0.
(Ⅱ)f"(x)=(2x+a)e-x-e-x(x2+ax+a)=e-x[-x2+(2-a)x]=-e-x•x[x-(2-a)].
令f"(x)=0,得x=0或x=2-a.
若2-a=0,即a=2时,f"(x)=-x2e-x≤0恒成立,
此时f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,没有极小值;
当2-a>0,即a<2时,
若x<0,则f"(x)<0.
若0<x<2-a,则f"(x)>0.
所以x=0是函数f(x)的极小值点.
当2-a<0,即a>2时,
若x>0,则f"(x)<0.
若2-a<x<0,则f"(x)>0.
此时x=0是函数f(x)的极大值点.
综上所述,使函数f(x)在x=0时取得极小值的a的取值范围是a<2.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当a<2,且x>2-a时,f"(x)<0,
因此x=2-a是f(x)的极大值点,极大值为f(2-a)=(4-a)ea-2.
所以g(x)=(4-x)ex-2(x<2).
g"(x)=-ex-2+ex-2(4-x)=(3-x)ex-2.
令h(x)=(3-x)ex-2(x<2).
则h"(x)=(2-x)ex-2>0恒成立,即h(x)在区间(-∞,2)上是增函数.
所以当x<2时,h(x)<h(2)=(3-2)e2-2=1,即恒有g"(x)<1.
又直线3x-2y+m=0的斜率为
3 |
2 |
所以曲线y=g(x)不能与直线3x-2y+m=0相切.
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,(a为常数,e为自然对数的底).(Ⅰ)当a=0时,求f′(2);(Ⅱ)若f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若所购商品标价不超过200元,则不给予优惠;
(2)若所购商品标价超过200元但不超过500元,则超过200元的部分给予9折优惠;
(3)若所购商品标价超过500元,其500元内(含500元)的部分按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予8折优惠.
某人来该商场购买一件家用电器共节省330元,则该件家电在商场标价为______.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成f(x)的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
1 |
2 |
1 |
2 |
(1)若某时期美元贬值指数m=
1 |
200 |
(2)若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为
1 |
20 |
2x |
4x+1 |
(1)试判断并证明f(x)的单调性;
(2)当λ取何值时,方程f(x)+f(-x)=λ有实数解?
-k |
x |
A.(-∞,0) | B.(0,+∞) | C.(1,+∞) | D.(-∞,1) |
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