题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（本小题满分14分） 
已知函数，其中，其中。
（I）求函数的零点；
（II）讨论在区间上的单调性；
（III）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。

答案

（I）－a.
（II）在区间上是增函数，
在区间是减函数。
（III）

解析

（I）解，得所以函数的零点为－a.………………2分
（II）函数在区域（－∞，0）上有意义，，…………5分
令
因为                                                      …………7分
当x在定义域上变化时，的变化情况如下：

	（）
	+	-

所以在区间上是增函数，                   …………8分
在区间是减函数。                               …………9分
（III）在区间上存在最小值                     …………10分
证明：由（I）知-a是函数的零点，
因为
所以。                                                                        …………11分
由知，当时，。                       …………12分
又函数在上是减函数，
且。
所以函数在区间上的最小值为
且。                                                                            …………13分
所以函数在区间上的最小值为，
计算得。                                …………14分