题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数
⑴求证：的图像关于直线y=x对称；
⑵函数的图像与函数的图像有且只有一个交点，求实数的值；
⑶是否存在圆心在原点的圆与函数的图象有且只有三个交点，如果存在，则求出此圆的半径；如果不存在，请说明理由。

答案

（1）见解析（2）或（3）见解析

解析

⑴解一：由可知函数图像即为反比例函数的图像经向右平移1个单位后再向上平移1个单位得到。则函数图像关于直线y=x对称…………………………………….….4’
解二：函数的反函数，所以的图像关于直线y=x对称………….4’
⑵由题意得有且只有一解。
时，由判别式等于0可得……………………………………3’
时，由图像易得同样满足题意………………………..………………2’
所以……………………………………………..………..…1’
⑶解一：由函数图像可得若存在满足题意的圆，则圆与函数的图像必在第一象限相切，即圆过（2，2）点，可得圆半径为，所以存在满足题意的圆，其半径为……....4’
r =代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 …..2’
解二：由⑴与圆的对称性可得交点必关于直线y=x对称         ……………...…..2’
如果有且仅有三个交点，则必有一个交点在直线y=x上，即这个交点就是函数y=与直线y=x的交点                     ……………………………………….……..…..2’
求得交点有两个（0，0）、（2，2），其中（0，0）不满足题意，而过（2，2）时圆的半径为。r =代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 
所以存在满足题意的圆，其半径为                            .…………..2’