题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.
答案
(1)由f(x)在(0,1]上为增函数,知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立,即a≤在(0,1]上恒成立,故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值.
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值时由(1)的结论可对a分类讨论,分0<a≤及a>两种情况,当0<a≤时,由(1)知f(x)在(0,1]上为增函数,可求最大值,当a>时,可由导数求f(x)在(0,1]上的极大值点.
[解析] (1)f′(x)=-a·+1.
因为f(x)在(0,1]上是增函数,
所以f′(x)=-+1≥0在(0,1]上恒成立,
即a≤=在(0,1]上恒成立,
而在(0,1]上的最小值为,
又因为a∈R*,所以0<a≤.
(2)由(1)知:①当0<a≤时,f(x)在(0,1]上是增函数,所以f(x)max=f(1)=(1-)a+1;
②当a>时,令f′(x)=0,得x=∈(0,1],
因为当0<x<时,f′(x)>0,
当<x≤1时,f′(x)<0,
所以f(x)在点x=处取得极大值,
即为f=+a
=+a=a-,
故f(x)max=a-.
综上,当0<a≤时,f(x)max=(1-)a+1;
当a>时,f(x)max=a-.
[点评] ①已知f(x)在[a,b]上单调递增(或单调递减)可推得x∈[a,b]时,f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,求单调区间时,令f′(x)>0(或f′(x)<0).②求f(x)的最大值时,要比较端点处函数值与极值的大小.当f′(x)的符号不确定时,可对待定系数进行分类讨论.
解析
核心考点
试题【.设函数f(x)=-a+x+a,x∈(0,1],a∈R*.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求棒长L关于的函数关系式:;
(2)求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值.
切线方程为.
(1)求的解析式;
(2)设,若对任意,总存在,使得
成立,求实数的取值范围.
,那么称为的生成函数.
(Ⅰ)下面给出两组函数,是否分别为的生成函数?并说明理由;
第一组:;
第二组:;
(Ⅱ)设,生成函数.若不等式
在上有解,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设,取,生成函数使 恒成立,求的取值范围.
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