题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数的图象过点,且在内单调递减,在上单调递增。
(1)求的解析式;
(2)若对于任意的,不等式恒成立,试问这样的是否存在.若存在,请求出的范围,若不存在,说明理由;
答案
(2)存在m且m∈[0,1]附合题意
解析
试题分析:(1)∵,--------1分
由题设可知:即sinθ≥1, ∴sinθ=1.------3分
从而a= ,∴f(x)= x3+x2-2x+c,而又由f(1)= 得c=.∴f(x)= x3+x2-2x+即为所求. --------------5分
(2)由=(x+2)(x-1),
易知f(x)在(-∞,-2)及(1,+∞)上均为增函数,在(-2,1)上为减函数.
①当m>1时,f(x)在[m,m+3]上递增,故f(x)max=f(m+3), f(x)min=f(m)
由f(m+3)-f(m)= (m+3)3+ (m+3)2-2(m+3)-m3-m2+2m=3m2+12m+≤,
得-5≤m≤1.这与条件矛盾. ------------8分
② 当0≤m≤1时,f(x)在[m,1]上递减, 在[1,m+3]上递增
∴f(x)min=f(1), f(x)max=max{ f(m),f(m+3) },
又f(m+3)-f(m)= 3m2+12m+=3(m+2)2->0(0≤m≤1)
∴f(x)max= f(m+3)∴|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min= f(m+3)-f(1)≤f(4)-f(1)= 恒成立.
故当0≤m≤1时,原不等式恒成立.----------------11分
综上,存在m且m∈[0,1]附合题意---------------12分
点评:导数本身是个解决问题的工具,是高考必考内容之一,高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用,求单调、最值、完成证明等,请注意归纳常规方法和常见注意点.
核心考点
试题【(本小题共12分)已知函数的图象过点,且在内单调递减,在上单调递增。(1)求的解析式;(2)若对于任意的,不等式恒成立,试问这样的是否存在.若存在,请求出的范围】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.恒为负值 | B.等于 | C.恒为正值 | D.不大于 |
A.2 | B.3 | C. | D. |
A. | B. |
C. | D.随a的值而变化 |
(1)的解析式;
(2)当时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直;
(3)设, 当时,求函数的最小值,并指出当取最小值时相应的值.
已知函数.
(1)判断函数在定义域上的单调性;
(2)利用题(1)的结论,,求使不等式在上恒成立时的实数的取值范围?
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