题目

题型：解答题难度：一般来源：湖南省月考题

已知x=是函数f（x）=的极值点．
（1）当b≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当b∈R时，函数y=f（x）﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．

答案

解：（1）当x＞0时，f（x）=（x²﹣2ax）e^x，
∴f "（x）=（2x﹣2a）e^x+（x²﹣2ax）e^x=[x²+2（1﹣a）x﹣2a]e^x．
由已知得，，
∴2+2﹣2a﹣2=0，
解得a=1．
∴f（x）=（x²﹣2x）e^x，
∴f "（x）=（x²﹣2）e^x．
当x∈（0，）时，f "（x）＜0，
当x∈（）时，f "（x）＞0．
又f（0）=0，所以当b＜0时，f（x）在（﹣）上单调递减，（）单调递增；
当b＞0时，f（x）在（﹣∞，0），（）上单调递增，在（0，）上单调递减．
（2）由（1）知，当x∈（0，）时，f（x）单调递减，f（x）∈（），
当x时，f（x）单调递增，f（x）∈（（2﹣2），+∞）．
要使函数y=f（x）﹣m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或m=（2﹣）；
②当b=0时，m∈（（2﹣2），0）；
③当b＜0时，m∈（（2﹣2），+∞）．